Doutorado

2008

33) Cláudio Tadeu Cristino

Título: Risco e confiabilidade sobre estruturas combinatórias: uma modelagem para redes elétricas

Resumo: Confiabilidade de um item é a probabilidade deste desempenhar bem suas funções, sob condições específicas. Oposto ao conceito de confiabilidade, tem-se a noção de risco, que é definido com a probabilidade de falha versus o custo associando a tal falha. Modelos matemáticos são freqüentemente utilizados em projetos de engenharia e na análise de confiabilidade, robustez e vulnerabilidade de tais projetos. Este trabalho tem como principais objetivos a abstração de uma rede elétrica, que é definida como um grafo com pesos nas arestas e vértices, usando-a como ferramenta no estudo de avaliação probabilística de risco, além da indicação de todo ferramental necessário ao primeiro objetivo. São obtidos resultados a respeito de distribuições estatísticas, resultados sobre a definição de funções de probabilidade sobre estruturas combinatórias, definidas como polinômios de Tutte a quatro variáveis e resultados computacionais a partir de simulações sobre redes elétricas reais.

Orientador: Gauss Moutinho Cordeiro

32) Éder Mateus de Souza

Título: Auto-similaridade e unicidade para um sistema semilinear, e existência de solução com dado singular para a equação da onda semilinear

Resumo: Obtivemos a boa-colocação global de soluções pequenas em espaços de Marcinkiewicz L(p1;¥) £L(p2;¥) para um sistema semilinear. Soluções brandas são obtidas em espaços com índices certos para permitir a existência de solução auto-similar. Usando nossas estimativas dos termos de acoplamento não lineares, provamos a unicidade de soluções na classe C([0;¥);Lp1(Rn)£Lp2(Rn)); sem qualquer hipótese de pequenez. Provamos algumas estimativas de decaimento e analisamos o comportamento assintótico das soluções. Estudamos também o problema de Cauchy para a equação da onda semilinear, com dados singulares em espaços de Marcinkiewicz, provando um resultado de boa-colocação local e decaimento próximo de t = 0.

Orientador: Lucas C. F. Ferreira

31) Jean Fernandes Barros

Título: Configurações centrais no problema restrito dos 4-corpos no plano

Resumo: Neste trabalho de pesquisa encontram-se demonstrados de forma analítica os resultados numéricos, obtidos na década de 40, e confirmados, também, numericamente, por Simó, na década de 70. Até nosso trabalho, o melhor que se tinha, neste sentido, era a tese de doutorado de J. R. Gannaway, na Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, U.S.A., 1981, intitulada “Determination of all central configurations in the planar four-body problem with one inferior mass’ , orientada por Arenstorf, na qual, usando métodos analíticos, demonstrou casos particulares de alguns resultados do Pedersen. Porém, a parte substancial do trabalho do Pedersen ainda estava sem demonstração analítica, principalmente, a parte referente à curva de degenerescência. A intenção de Pedersen era contar o número de configurações centrais no Problema Restrito dos 4 Corpos no Plano (PR4CP). Para isso, Pedersen procurou saber, inicialmente, aonde o problema degenerava-se. E então, concluiu que as configurações centrais na condição de degenerescência formam uma curva fechada e simples no interior do triângulo equilátero, cujos vértices definem a solução Lagrangeana do problema. No Capítulo 2, ocupamo-nos por descrever analiticamente esta curva. E como uma consequência, obtivemos a caracterização algébrica da condição de degenerescência, a qual torna nosso método eficaz. O nosso método é inspirado no trabalho de Vincent, cujo método diz respeito à separação de raízes de um polinômio. Conjuntamente ao método de Vincent, utilizamos: o Resultante de Polinômios, a Regra de Sinais de Descartes, o Teorema Fundamental sobre Polinômios Simétricos, as Fórmulas de Cardano e a Natureza das Raízes da Equação Cúbica. Para realizarmos os cálculos utilizamos o software MAPLE. No Capítulo 3, demonstramos, por métodos analíticos, que as configurações centrais convexas (ver Teorema 18) e não-convexas exteriores ao triângulo (ver Teorema 19) são não-degeneradas. Estes teoremas são nossas primeiras contribuições ao PR4CP. No Capítulo 4, mostramos, por métodos analíticos, que a curva de degenerescência é fechada e simples, em conformidade com os resultados numéricos de Pedersen. Além disso, obtivemos algo inédito: a curva de degenerescência é analítica (ver Capítulo 4, Seções 4.3 e 4.4). Estes resultados são mais uma das nossas contribuições ao PR4CP. No capítulo 5, passamos a realizar a contagem do número de configurações no PR4CP. Inicialmente, mapeamos a curva de degenerescência no espaço dos parâmetros, mais precisamente, no interior do 2-simplexo. E verificamos que a curva mapeada é fechada e simples (ver Capítulo 5, Seção 5.1). Desta forma, utilizando o Teorema da Curva de Jordan e o Teorema da Aplicação Inversa, realizamos a contagem do número de configurações centrais no PR4CP (ver Capítulo 5, Seção 5.2).

Orientador: Eduardo Shirlippe Góes Leandro

30) Paulo de Souza Rabelo

Título: Existência e multiplicidade de soluções para sistemas de equações de Schrödinger semilineares em Rn

Resumo: Neste trabalho, estudamos questões relacionadas à existência e multiplicidade de soluções do tipo estacionária para uma classe de sistemas de equações de Schrödinger com potenciais mudando de sinal e não-linearidades ilimitadas na variável x. Consideraremos diversos tipos de crescimento para o termo não-linear. Na obtenção de nossos resultados usamos métodos variacionais do tipo mini-max e teoria de regularidade de equações elípticas de segunda ordem.

Orientador: João Marcos Bezerra do Ó

2007

29) Ângelo Alberti

Título: Dinâmica de uma partícula infinitesimal ao redor de corpos na forma de anel ou disco

Resumo: Nosso principal objetivo, neste trabalho, é descrever a dinâmica das órbitas de uma partícula infinitesimal movendo-se no espaço R³ afetadas pela atração gravitacional induzida por um corpo na forma de anel ou disco num plano fixo e com densidade de massa homogênea. Os aspectos da dinâmica nos quais estamos interessados são principalmente: descrever de diferentes formas o potencial gravitacional associado a cada caso; caracterizar propriedades de homogeneidade do potencial ; descrever o espaço de configurações destes problemas; determinar as simetrias do campo vetorial associado; identificar os sub-problemas associados de acordo a dimensão do espaço ambiente; em cada sub-caso particular, descrever a dinâmica e compará-las entre si; relacionar as singularidades do potencial com as singularidades das soluções do campo vetorial de cada problema em questão ; introduzir um parâmetro perturbador conveniente; determinar uma grande diversidade de famílias de órbitas periódicas nos diferentes sub-problemas; estudar as órbitas de escape nos diferentes casos; comparar os resultados obtidos com aqueles do problema dos n-corpos da Mecânica Celeste.

Orientador: José Cláudio Vidal Diaz

28) Fábio dos Santos

Título: Estabilidade de equilibrios de sistemas hamiltonianos autônomos e periódicos

Resumo: Nesta tese, fizemos um estudo detalhado da estabilidade de equilíbrios de sistemas Hamiltonianos autônomos e periódicos com n graus de liberdade que possuem todos os autovalores imaginários puros nos casos de existência de ressonâncias simples e múltiplas. Observando que o conjunto das ressonâncias possui estrutura de módulo finitamente gerado, caracterizamos a forma normal de Lie da função Hamiltoniana dependendo da matriz do sistema linearizado ser diagonalizável ou não. Usando esta caracterização, obtemos integrais primeiras do sistema truncado na forma normal de Lie em qualquer ordem, as quais são bastante úteis para fornecer nossos critérios para conhecer a estabilidade do equilíbrio. Nossos Teoremas Principais são bastantes gerais pois incluem e estendem vários resultados existentes na literatura além de fornecerem respostas a estabilidade nos casos críticos de vários artigos. Para sistemas com ressonâncias simples, nosso Teorema Principal esgota todas as possibilidades de se detectar estabilidade e instabilidade em alguma ordem finita através do truncamento da forma normal de Lie da função Hamiltoniana. No caso de múltiplas ressonância uma resposta bem geral, mas não completa, é dada sobre a estabilidade do equilíbrio. Como aplicação dos nossos resultados, fizemos um estudo da estabilidade do movimento de partes centrais de galáxias.

Orientador: Cláudio Vidal Diaz

27) Kalasas Vasconcelos de Araújo

Título: A Álgebra de Gauss de uma Álgebra Monomial

Resumo: A álgebra de Gauss associada à k-subálgebra de um anel polinomial k[t0; : : : ; td] gerado por um número finito de formas de mesmo grau corresponde ao anel de coordenadas homogêneo da imagem de Gauss de uma variedade projetiva uniracional sobre k. Focaremos o caso onde os geradores são monômios. Por caracterizar os menores da matriz jacobiana de um conjunto de monômios como certos n-produtos tornaremos mais concreta a natureza da álgebra de Gauss associada à subálgebra monomial correspondente. A versão reticulada destes n-produtos permite uma abordagem combinatória ao tema. Neste caminho, provaremos resultados já obtidos e estudaremos em detalhes a álgebra de Gauss associada ao conjunto dos monômios livre de quadrados de grau dois.

Orientador: Aron Simis

26) Lúcia de Fátima de Medeiros Brandão

Título: O problema restrito elíptico dos três corpos com colisão

Resumo: Neste trabalho, estudamos o problema restrito dos três corpos onde os primários movem-se numa órbita elíptica de colisão, isto é, o momento angular dos primários é identicamente zero e a energia é negativa. Este problema apresenta três subproblemas, a saber: o caso estritamente espacial (isto é, a partícula infinitesimal move-se no espaço); o caso planar (isto é, a partícula infinitesimal move-se num plano que contém os primários) e o caso isósceles (isto é, a partícula infinitesimal move-se em um plano ¡ perpendicular a reta que contém os primários e passando através do centro de massa dos primários). É relevante observar que a dinâmica dos primários é periódica e contém um número infinito de colisões. Assim, os primários representam um termo de for»ca periódica no sistema, fazendo com que esse sistema seja não conservativo. Esta é uma das grandes dificuldades em se obter uma descrição completa da dinâmica deste problema. Esses três subproblemas foram escritos como uma perturbação do problema de Kepler, desta maneira obtivemos uma grande quantidade de órbitas periódicas. A técnica usada para conseguirmos tais órbitas foi o método da Continuação Analítica de Poincaré. No entanto, não foi possível usar o Teorema da Função Implícita na sua forma padrão, uma vez que não temos a diferenciabilidade suficiente do campo devido ao parâmetro perturbador introduzido. Para contornar este problema, usamos o Teorema de Arenstorf, o qual exige um pouco menos do campo. No caso isósceles, o qual chamamos por problema restrito dos três corpos isósceles elíptico com colisão, obtemos mais informações sobre a dinâmica da partícula. Além de provarmos a existência de uma grande quantidade de órbitas periódicas, conseguimos mergulhar o shift de Bernoulli em uma seção conveniente do fluxo, mostrando que este problema possue uma dinâmica caótica. Além disso, construímos esta dinâmica simbólica.

Orientador: José Cláudio Vidal Diaz

2006

25) Cleto Brasileiro Miranda Neto

Título: Teoria dos módulos idealizadores diferenciais

Resumo: Dado um ideal em um anel de polinômios coeficientes em um corpo, que usualmente assumimos ter característica zero), podemos considerar as derivações que o preservam. Elas dão origem um modulo especial denominado idealizador diferencial (do ideal dado). Tal objeto desempenha um papel primordi1 nesta tese, que esta dividida em duas seções principais. Na primeira seção a teoria de tais módulos e desenvolvida a partir de uma definição complemente geral: propomos uma versão relativa, no necessariamente polinômio, com propriedades e técnica que se mostra úteis vários resultados subseqüentes. Em seguida focalizamos em idealizadores polinômios, principalmente fornecendo critérios efetivos de refletividade e liberdade, bem como introduzindo a classe dos então chamados ideais (e anéis) diferencialmente livres (generalização não-trivial da conhecida noção de divisor livre). A segunda seção lida com aplicações ao modulo clássico de derivações (ou de campos vetoriais tangentes) de um álgebra finitamente gerada sobre um corpo. Inicialmente e dado um método computacional para obtenção de um conjunto de geradores. Obstruções à sua Cohen-Mculicidde são investigadas – uma delas sendo que o anel deve ser eqüidimensional-, com critérios no caso de hipersuperficies e de interseções completas homogêneas com singularidade isolada. São obtidas decomposição primária no caso reduzido, álgebras de explosão no caso de hipersuperficies, e certas estimativas de multiplicidade. Finalmente, uma resolução livre no caso de anéis diferencialmente livres e explicitada, e versões da Conjectura de Zriski-Iipmn sao estabelecidas.

Orientador: Aron Simis

2005

24) Tereza Raquel Brito de Melo

Título: Hiperplanos conexos em matróides binárias

Resumo: Circuitos e cocircuitos não-separadores são muito importantes para a compreensão das matróides gráficas. Por exemplo, Tutte [27] caracterizou os grafos 3-conexos planares usando o conceito de circuitos não-separadores. Bixby e Cunningham [2] generalizaram esse resultado para a classe das matróides binárias. Kelmans [11] e independentemente Seymour (veja [16]) provaram que cada matróide binária, conexa, simples e co-simples tem pelo menos um cocircuito não-separador. McNulty e Wu [15] provaram que essas matróides têm no mínimo quatro cocircuitos não-separadores, sendo este resultado o melhor possível. Lemos [14] calculou, para matróides binárias 3-conexas, a dimensão do subespaço do espaço dos cociclos gerado pelos cocircuitos não-separadores que evitam um elemento da matróide. Nesta tese, á fornecido um limite inferior para a dimensão de um tal subespaço gerado pelos cocircuitos não-separadores que evitam um conjunto com no mínimo dois elementos da matróide. Inicialmente, será feita uma abordagem geral da teoria das matróides utilizada para provar os principais resultados encontrados nesta tese, apresentados em seguida. No segundo capítulo, o problema de encontrar cocircuitos não-separadores de uma matróide binária, conexa, simples e co-simples será reduzido ao problema de encontrar cocircuitos não-separadores evitando, no máximo, dois elementos em matróides binárias 3-conexas. No terceiro capítulo, serão caracterizadas as matróides binárias 3-conexas sem cocircuitos não-separadores que evitam um 2-subconjunto do conjunto de elementos da matróide. Este resultado é essencial para o cálculo da dimensão do subespaço do espaço dos cociclos gerado pelos cocircuitos não-separadores que evitam um 2-subconjunto do conjunto de elementos de uma matróide binária 3-conexa. Será feito ainda o cálculo da dimensão de um tal subespaço quando o subconjunto de elementos evitado por esses cocircuitos é um triângulo da matróide. Além disso, será determinada a dimensão do mesmo subespaço para cocircuitos não-separadores que evitam uma coleção qualquer dos elementos de uma matróide binária 3-conexa, desde que a restrição da matróide a esse conjunto não tenha colaço.

Orientador: Manoel Lemos

2004

23) Beto Rober Bautista Saavedra

Título: Extensão de uma solução K-Jato de uma estrutura tubular

Resumo: Na presente tese introduzimos os conceitos de uma Solução $k$-Jato e de uma $(\Phi, \kappa)$-Envoltória Convexa para provar a versão semi-local do Teorema de Extensão Tubular de Bochner para categoria das estruturas tubulares analíticas reais dando uma representação integral para a extensão .

Orientador: Joaquim Tavares de Melo Neto

2003

22) Alan Almeida Santos

Título: Configurações centrais de Dziobek em problemas restritos e bifurcações

Resumo: O problema dos n corpos consiste em descrever a evolução no tempo de n massas pontuais m1,…, mn que interagem segundo a lei de Newton da gravitação universal. As configurações centrais do problema de n corpos são condições iniciais no espaço de configuração que dão origem a movimentos homográficos, isto é, movimentos onde a configuração em cada instante é semelhante à configuração num instante inicial. Configurações centrais de n corpos em dimensão n-2 são o nosso objeto de estudo. Elas são também conhecidas como configurações de Dziobek. Investigamos o caso restrito de n+1 corpos com massas iguais para n=3 e n=4 onde calculamos todas as configurações desse problema e enunciamos um resultado geral de simetria. Uma generalização do resultado de Dieter Schmidt sobre bifurcações de uma configuração tetraedral não-convexa de cinco corpos também é obtida. Os cálculos de bifurcação são executados considerando um potencial da família homogênea à qual o Newtoniano pertence. E finalmente, conseguimos uma extensão de um resultado de simetria, devido a Alain Albouy e Jaume Llibre, para configurações espaciais do problema de 1+4 corpos. Nós provamos a persistência das simetrias das configurações quando a massa central é superior a um determinado limite finito.

Orientador: Alain Albouy

21) Almir Olímpio Alves

Título: Uma fórmula para o grupo de Whitehead de uma grupo cristalográfico tridimernsional

Resumo: O principal resultado desse trabalho é descrever uma fórmula para o grupo de Whitehead de um grupo cristalográfico em dimensão três. Também contruimos um (L, VC(L) )-espaço universal n-dimensional e damos a classificação, módulo isomorfismo, dos subgrupos virtualmente cícilos infinitos de um 3-cristalográfico.

Orientador: Pedro Ontaneda

20) Carlinda Maria de Freitas Azevedo

Título: Dinâmica do problema do fio circular homogêneo

Resumo: Este trabalho consiste em estudar o movimento de uma partícula, de massa infinitesimal, submetida unicamente à força de atração gravitacional induzida por um fio circular homogêneo fixo, contido no espaço tri-dimensional. Iniciamos este trabalho apresentando a formulação do problema e um estudo preliminar do potencial. Fazemos o estudo das simetrias e dos conjuntos invariantes. No capítulo 2, verificamos que todas as singularidades do problema do fio circular são devidas à colisão. No capítulo 3, verificamos que o potencial ou o gradiente da função potencial V, pode ser visto como uma aproximação de outros potenciais, ou do gradiente de outros potenciais de m,ais fácil manipulação. E, no capítulo 4, provamos a existência de soluções periódicas de problemas perturbados próximas a soluções circulares de problemas não perturbados. No capítulo 5, apresentamos o estudo da dinâmica do problema do fio circular homogêneo. Inicialmente estudamos a dinâmica da partícula restrita aos conjuntos invariantes. No estudo da dinâmica restrita ao eixo z verificamos a existência de soluções periódicas, e soluções ilimitadas, as que escapam para o infinito. Além disso, observamos que a origem é ponto de equilíbrio estável do sistema restrito e que todas as soluções deste problema estão definidas em todo tempo. No estudo no plano horizontal verificamos a existência de soluções circulares passando por qualquer ponto no exterior do fio circular e a não existência de soluções circulares no interior do fio. Fazemos um estudo sobre a existência de soluções circulares no exterior do fio circular para um certo momento angular fixado. No interior do fio circular, provamos que as soluções ou colidem ou convergem para a origem ( a menos da solução de equilíbrio). Verificamos que todas as soluções não radicais descrevem uma curva cujo traço tem uma forma particular. No exterior do fio circular, fazemos também uma análise da dinâmica, a partir do retrato de fase. Por fim, apresentamos a região de Hill do problema e o estudo da solução de equilíbrio restrito a este plano. No estudo no plano vertical provamos a existência de soluções periódicas longe do fio circular e soluções periódicas próximas ao fio circular, intersectando a região planar interior ao fio circular, com um raio qualquer. Além disso, verificamos a existência de soluções em forma de oito, passando pela origem. Provamos também a existência de certas soluções periódicas no espaço tri-dimensional, perto do fio circular e apresentamos a análise da solução de equilíbrio do problema.

Orientador: Pedro Ontaneda e Claudio Vidal

19) Emerson Alexandre de Oliveira Lima

Título: Código de Gauss não 2-face coloráveis em RP2

Resumo: Um código de Gauss é uma seqüência cíclica de n símbolos na qual cada símbolo ocorre exatamente duas vezes. Um lacet em uma variedade bidimensional S é um mergulho nesta variedade de uma curva fechada com auto-intercessões de tal forma que cada intercessão se apresente como um vértice 4-valente e que o complemento da curva na variedade seja homeomorfo a uma coleção de discos abertos. Diremos que o lacet é ou não 2-colorável conforme esta coleção de discos forma um mapa 2-colorável. Um lacet l em uma variedade bidimensional S realiza um código de Gauss g quando existir uma rotulação das auto-intercessões de l de tal forma que ao percorrer o lacet a seqüência cíclica dos rótulos dos vértices encontrados seja g. Quando existir em uma variedade bidimensional S um lacet realizando um código de Gauss g, diremos que g é realizável em S. O problema em aberto da caracterização do conjunto dos códigos de Gauss realizáveis no Plano Projetivo RP2 por lacets não 2-coloráveis é o nosso objeto de estudo. Investigamos tal conjunto generalizando os resultados anteriormente obtidos por Lins para o conjunto dos códigos de Gauss realizáveis em RP2 por um lacets 2-coloráveis fornecendo uma completa caracterização dos códigos não 2-coloráveis no plano projetivo e completando, portanto, a caracterização de todos os códigos de Gauss realizáveis em RP2. As técnicas desenvolvidas neste trabalho também podem ser aplicadas na tentativa de resolver os problemas em aberto de caracterização do conjunto dos códigos de Gauss realizáveis por lacets não 2-coloráveis em outras superfícies tais como o Toro e a Garrafa de Klein.

Orientador: Sóstenes Lins

18) Luis Francisco Del Campo Conejeros

Título: Uma teoria assintótica para equações em diferenças funcionais com retardo infinito

Resumo: Nosso interesse neste trabalho foi o desenvolvimento de uma teoria assintótica para um sistema homogêneo de equações em diferenças funcionais. Nós nos concentramos na existência de soluções convergentes, comportamento assintótico e propriedades desta classe de soluções para erturbações não lineares do sistema homogêneo. Abordamos esta problemática no marco da teoria das dicotomias. Especificamente estudamos os casos nos quais o operador solução, o qual é associado à equação homogênea, possui um determinado tipo de dicotomia. Usando o teorema de Krasnoselky e o critério de compacidade, provamos a existência de soluções convergentes . Além disso, entre outros assuntos, obtemos interessante informação com respeito ao conjunto das soluções convergentes, como por exemplo que tal conjunto é equiconvergente em peso em infinito. Este tipo de informação não tem sido estudada até hoje na literatura existente sobre equações em diferenças funcionais.

Orientador: Cláudio Rodrigo Cuevas Henríquez

2001

17) Marcelo Domingos Marchesin

Título: Estabilidade de Órbitas Sub-Harmônicas de Melnikov

Resumo: O Método Sub-Harmônico de Melnikov nos permite analisar a existência de soluções periódicas em sistemas que sejam perturbações periódicas de Sistemas Hamiltonianos . Mais precisamente a existência de zeros simples para função de Melnikov corresponde uma determinada solução ressonante do sistema não perturbado, nos permite assegurar que próximo a este zero, marcam soluções sub-harmônicas para problema perturbado . Porém tal método não nos permite afirmar coisa alguma sobre a estabilidade destas órbitas periódicas . Através da análise de um caso particular onde podíamos aplicar o método , fomos na busca de um critério de estabilidade, levados a generalizar o estudo da estabilidade de tais sistemas perturbados. Chegamos assim, a um critério simples, que nos permite caracterizar a estabilidade das órbitas periódicas sub-harmônicas garantidas pelo método de Melnikov. Basicamente a estabilidade é dedicada de acordo com o sinal de derivada da correspondente função de Melnikov no correspondente zero desta função . É este critério simples para determinação da estabilidade ou não de uma determinada órbita sub-harmônica, o resultado central de nossa tese.

Área de Concentração: Topologia e Geometria

Linha de Pesquisa: Mecânica Celeste e Sistemas Hamiltonianos

Orientador: Hildeberto Cabral

Banca Examinadora: Hildeberto Cabral e Cláudio Vidal (DMAT-UFPE), Tadashi Yokoyama (UNESP), Alain Albouy (Bureau des Longitudes/Paris), Dieter Schmidt (Univ. Cincinnati-EUA)

2000

16) Ediel Azevedo Guerra

Título: Modelo Sigma Não-Linear e Função de Partição

Resumo: Os modelos de sigma dizem respeito a sistemas físicos em que se consideram as interações de campos gravitacionais, bosônicos e/ou fermiônicos . A despeito desses modelos serem comumente definidos sobre superfícies de Riemann, neste trabalho consideraremos o estudo da Função de Partição , para alguns modelos de sigma definidos sobre variedades unidimensionais, visando à formalização de alguns conceitos fundamentais utilizados nessa teoria . Após estabelecer as notações, conceitos e resultados básicos necessários, calculamos inicialmente a função de partição renormalizada, para um modelo sigma definido sobre um intervalo fechado da reta R. Mostramos, usando alguns procedimentos de renormalização e aproximação semiclássica, que a função de partição associada a esse modelo, apresenta valores finitos em várias situações em que o somatório e a circunferência S1 e X é uma variedade riemanianna, com especial destaque para os casos em que X é a esfera ou o toro plano.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Ramón Mendoza

Data da defesa: 03/07

Banca Examinadora: Ramón Mendoza, Fernando Cardoso e Israel Vainsencher (DMAT-UFPE), Fernando Morais (DF-UFPE), Levi Lopes (UFC)

15) Fernando Antonio Xavier de Souza

Título: Uma Compactificação do Espaço das Cúbicas Reversas

Resumo: Nosso trabalho consiste em construir uma compactificação para um aberto denso do espaço de parâmetros da família de cúbicas reversas . Sabemos que a componente H , do esquema de Hilbert que parametriza a família das cúbicas reversas mergulha em G(10,20) . Nosso principal resultado fornece um mapa regular da variedade dada pela tripla explosão de X( ao longo de lugares lisos) sobre a componente H . Dois casos importantes são : 1) uma compactificação para a família das superfícies regradas de grau 3 em P4 ; 2) uma compactificação para a família das variedades de Segre em P5 . Esta compactificação nos permite estudar aplicações a Geometria Enumerativa. Usando um programa devido a Paul Meurer e adaptado por André Meireles, calculamos, por meio da fórmula de Bott, o número de cúbicas reversas incidentes a 12 retas em posição geral, o número de superfícies regradas de grau 3 incidentes aa 18 retas em posição geral, e o número de variedades de Segre incidentes a 24 retas em posição geral.

Área de Concentração: Álgebra

Linha de Pesquisa: Geometria Algébrica

Orientador: Israel Vainsencher

Data da defesa: 08/05

Banca Examinadora: Israel Vainsencher, Aron Simis e Letterio Gatto (DMAT-UFPE), Dan Avritzer (UFMG), Abramo Hefez (UFF)

14) Joachin Christian Kock

Título: Cohomologia Quântica Tangencial e Geometria Enumerativa de Curvas Racionais

Resumo: Esta tese apresenta uma ligação entre a teoria gravitacional e a geometria enumerativa de curvas racionais sujeitas a condições de natureza infinitesimal, como por exemplo de tangência . A idéia é introduzir uma modificação das classes de psi, cujas propriedades a fazem bem-feita para fins enumerativos . A primeira parte, trata das propriedades dessas novas classes e estabelece equações diferenciais para as funções geratrizes correspondentes às integrais, informação esta que permite uma computação efetiva dos invariantes e revela uma nova estrutura profunda dos espaços de módulos. A segunda parte, mostra como de fato as classes psi modificadas , são convenientes para descrever problemas de enumeração de curvas racionais sujeitas a condições de tangência ( bem como condições impostas sobre as singularidades das curvas ).

Área de Concentração: Álgebra

Linha de Pesquisa: Geometria Algébrica

Orientador: Israel Vainsencher

1999

13) Bráulio Maia Junior

Título: Neste resumo, faremos uma abordagem histórica do nosso problema principal, citando alguns matemáticos que de alguma maneira contribuíram com o surgimento de tal problema. Concluiremos com o enunciado do Teorema maior de nosso trabalho. Nosso problema originou-se com A. M. Hobbs com a seguinte indagação : Conjectura : Todo grado 2-conexo G, satisfazendo d(v) maior ou igual a 4, para todo v pertence V(G), possui ciclo C tal que G\C é 2-conexo ? B. Jackson deu um contra-exemplo, utilizando o grafo de Petersen, no seu artigo Removable cycles in 2-connected graphs of minimum degree at least four, que serve para provar que esta conjectura é falsa e também que a hipótese do grafo g ser simples é essencial no Teorema de Mader do artigo Kreuzungfreie a,b-Wege in endlichen Graphen : Teorema 1 (Mader) – Todo grafo k-conexi e simples G com grau mínimo menor ou igual a k+2, possui um ciclo C tal que G\C, o grafo obtido de G por deleção das arestas de C, é k-conexo. Neste mesmo artigo Jackson melhora o resultado de Mader, no caso k=2, provando que : Teorema 2(Jackson) – Se G é um grafo simples 2-conexo com grau mínimo k, onde k é maior ou igual a 4, então G possui um ciclo C de comprimento no mínimo k-1 tal que G\C é 2-conexo. No artigo On removable circuits in graphs and matroids, Lemos-Oxley, conseguiram a seguinte extensão para este resultado : Teorema 3( Lemos-Oxley) – Sejam G um grafo simples e 2-conexo, H um bloco que é um subgrafo de G e K um inteiro maior do que três. Suponha que d(v) é maior ou igual a k, para todo v pertencente V(G)\V(H). Então (i) G\C é 2-conexo, para todo ciclo C que é disjunto de H; ou (ii) G possui um ciclo C que é disjunto de H tal que G\C é 2-conexo e quando k for maior ou igual a 5, o comprimento de C é no mínimo k+1 . Mais recentemente Goddyn, van den Heuvel e McGuinnes no artigo Removable circuits in multigraphs, retiraram a hipótese do grafo ser simples no Teorema de Jackson, porém excluíram menores isomorfos ao grafo de Petersen e não colocaram exigência no comprimento do ciclo, obtendo o seguinte resultado : Teorema 4 – Seja G um grafo 2-conexo com d(v) maior ou igual a 4, para todo v pertencente a V(G). Se G não possui menor isomorfo ao grafo de Petersen, então G possui um ciclo tal que G\C é 2-conexo . Motivado pelo resultado do teorema 2, para teoria dos grafos, no livro Matroid theory, Oxley adaptou as hipótese para teoria das matróides e questionou : Questão – Seja M uma matróide conexa binária e simples tal que todo cocircuito possui no mínimo quatro elementos . Será que M possui um circuito C tal que M\C é conexa ? No artigo On removable circuits in graphs and matroids, Lemos e Oxley constituíram um contra-exemplo, para concluir que a resposta a esta questão é negativa e perguntaram : Questão. Para quais cosntantes Alfa e Beta, toda matróide conexa M em que /E(M)/ maior ou igual a Alfa r(M) + Beta possui um circuito C tal que M\C é conexa ? Neste mesmo artigo para Alfa = 3 e Beta = 0 eles provaram que : Teorema 5 (Lemos-Oxley) – Se M é uma matróide conexa tal que /E(M)? é maior ou igual a 3r(M), então M possui um circuito C tal que M\C é conexa . Na tentativa de melhorarmos a limitação /E(M)/ maior ou igual a 3r(M) no teorema acima, nos deparamos com uma sequência de exemplos, nos quais observamos que o candidato natural para Beta seria três e fomos tentados a encontrar hipóteses sobre uma matróide conexa M com /E(M)/ maior ou igual a 3r(M)-3, tal que M\C seja conexa, para algum C pertencente a C(M). Nosso trabalho foi recompensado com o seguinte teorema : Teorema 6 – Seja M uma matróide conexa e simples tal que /E(M)/ seja maior ou igual a 3r(M)-3 e r(M) maior ou igual a 7. Então M possui um circuito C tal que M\C é conexa A hipótese r(M) maior ou igual a 7 aparece apenas para eliminar pequenos contra-exemplos ao resultado. Porém o fato de M ser simples é fundamental. Para demonstrar este Teorema, construiremos as matróides conexas com circunferência pequena, que tomará a maior parte desta monografia.

Área de Concentração: Combinatória

Linha de Pesquisa: Grafos e Matróides

Orientador: Manoel Lemos

Data da defesa: 20/12

Banca Examinadora: Manoel Lemos, Sóstenes Lins e Cleide Martins (DMAT-UFPE), Yoshiaru Kohayakawa (USP), Adilson Gonçalves (UFRJ)

12) José Edmundo Mansilla Villarroel

Título: Estabilidade de Sistemas Hamiltonianos com Três Graus de Liberdade e o Problema dos Três Corpos

Resumo: Consideremos o movimento de três partículas materiais com vetores posição A1,A2,A3 e massas m1,m2,m3 respectivamente, movendo-se por atração gravitacional mútua. O problema de descrever as trajetórias dos três corpos, dada uma posição inicial, em função do tempo “t” , é chamado Problema dos Três Corpos . É conhecido de longa data que o Problema dos Três Corpos tem 5 soluções particulares, 3 nas quais os corpos movem-se alinhados (Euler) e duas nas Quais formam um triângulo equilátero (Lagrange) . Para estas 5 soluções, os corpos movem-se em um plano ao longo de órbitas periódicas semelhantes, relativas ao seu centro de massa, formando todo o tempo do movimento, uma configuração invariável . Kinitsyn ([8]) obtem uma interpretação geométrica, em função dos centros de massa dos três corpos, para a estabilidade em aproximação linear das soluções de Lagrange, no caso em que as órbitas são circulares, obtendo três regiões de estabilidade linear. Estas regiões são limitadas pelos lados do triângulo solução de Lagtrange e uma circunferência de raio p* com centro no baricentro do triângulo formado por A1,A2 e A3 . O nosso trabalho e resultados, são dirigidos ao estudo da estabilidade das soluções de Lagrange quando o centro de massa dos três corpos está sobre a circunferência de raio p* . Como sobre esta curva o Hamiltoniano do sistema que determina os movimentos dos três corpos possui duas frequências iguais, os nossos primeiros esforços foram dirigidos a estudar Sistemas Hamiltonianos com três graus de liberdade e duas frequências iguais, tanto a sua forma normal, quanto a sua estabilidade . Os nosso resultados obtidos neste aspecto resumem-se nos seguintes : T1 – Obtenção da forma normal de Sistemas Hamiltonianos com três graus de liberdade e duas frequências iguais . T2 – Obtenção de condições para a estabilidade formal e instabilidade no sentido de Liapunov de uma posição de equilíbrio de Sistemas Hamiltonianos com três graus de liberdade, duas frequências iguais e não existência de outras ressonâncias . As aplicações dos resultados anteriores ao Problema dos Três Corpos resumem-se no seguinte : T3 – Estudo completa da estabilidade formal e instabilidade no sentido de Liapunov das soluções de Lagrange no problema dos três corpos circular, quando o centro de massa dos corpos está sobre a circunferência de raio p* .

Área de Concentração: Geometria e Topologia

Linha de Pesquisa: Sistemas Hamiltonianos e Mecânica Celeste

Orientador: Hildeberto Cabral

Data da defesa: 04/12

Banca Examinadora: Hildeberto Cabral, Cláudio Vidal, Ramón Mendoza (DMAT-UFPE), Clodoaldo Ragazzo (USP), Josep Cors (Univ. Politécnica Catalunya / Barcelona)

1997

11) Dan Avritzer

Título: Interseção Completa de Quádricas no Espaço Projetivo de Dimensão n

Resumo: No Capítulo I, fazemos um resumo dos resultados da geometria projetiva clássica e suas aplicações ao estudo de feixes de quádricas que serão úteis nos capítulos seguintes. No Capítulo II, tratamos da descrição da componente do esquema de Hilbert que parametriza a interseção completa de duas quádricas em Pn. No Capítulo III, tratamos da Teoria Geométrica de Invariantes para feixes de quádricas em P4.

Área de Concentração: Álgebra

Linha de Pesquisa: Geometria Algébrica

Orientador: Israel Vainsencher

Data da defesa: 26/05

Banca Examinadora: Israel Vainsencher, Elizabeth Gasparim e Sérgio Santa Cruz (DMAT-UFPE), Eduardo Esteves (IMPA), Abramo Hefez (UFF)

1996

10) Cláudio Rodrigues Cuevas Henríquez

Título: O Funcional de Dirichlet-Neumann

Resumo: No Capítulo I, tratamos dos preliminares e definições básicas que usaremos no decorrer do mesmo. No Capítulo II, estudamos o funcional de Dirichlet-Neumann Hipebólico. No Capítulo III, estudamos o funcional de Dirichlet-Neumann Parabólico.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Fernando Cardoso

Data da defesa: 11/11

Banca Examinadora: Fernando Cardoso, Ramón Mendoza e André Banks (DMAT-UFPE), Caio Negreiros (UNICAMP), Aldo Maciel (UFBA)

9) José Cláudio Vidal Diaz

Título: O Problema Tetraedral Simétrico com Rotação

Resumo: No Capítulo I, mostramos que todas as singularidades do problema são devidas a colisão. Já que o Hamiltoniano é uma integral primeira de movimento que fisicamente representa a energia total do sistema e como o comportamento qualitativo do fluxo depende do sinal desta integral primeira, no capítulo II, damos a caracterização da topologia das superfícies de energia associada para os casos de energia negativa e maior ou igual a zero . No Capítulo III, fazemos uma mudança de coordenadas apropriada para estudar a singularidade r = 0 devido a colisão total adaptando as idéias de McGehee [Mc2] ao nosso problema, que consiste em fazer uma “explosão” (blow-up) da origem e substituir esta singularidade por uma variedade . No Capítulo IV, se faz um estudo detalhado do fluxo sobre a variedade de colisão dada por r = 0 ; também caracterizamos a topologia da variedade de colisão antes e depois de regularizar as colisões binárias simultâneas . No Capítulo V, fazemos uma explosão da singularidade devida a colisão binária simultânea usando novamente as técnicas de McGehee ou, num caso mais geral, técnicas de Elbialy [Elb], o que nos permitem caracterizar o conjunto de condições iniciais que terminam e começam em colisão binária simultânea . O Capítulo VI está motivado pela existência dos movimentos oscilatórios no problema tetredral simétrico com rotação.

Área de Concentração: Geometria e Topologia

Linha de Pesquisa: Sistemas Hamiltonianos e Mecânica Celeste

Orientador: Hildeberto Cabral

Data da defesa: 09/07

Banca Examinadora: Hildeberto Cabral, Ramón Mendoza e Fernando Cardoso (DMAT-UFPE), Jair Koiller (UFRJ), Joaquim Delgado (UAM-México)

1995

8) Pedro Antonio Gómez Venegas

Título: O Funcional de Dirichelet-Neumann Elítico

Resumo: No Capítulo I, introduzimos as definições e resultados básicos referente ao funcional de Dirichlet-Neumann . No Capítulo II, consideramos o caso unidimensional. Isto, nos permite dar um cálculo explícito do funcional de Dirichelet-Neumann e demonstrar a Conjectura A e C . Demonstraremos ainda , que o espaço de órbitas é uma variedade Riemanniana de dimensão 1 . No Capítulo III, demonstramos a Conjectura B no caso de uma região simplesmente conexa limitada . Fundamentamente usamos o fato, que podemos reduzir a Conjectuta ao disco unitário ( Veja Obs. 1.1.112), e a forma explícita da função de Green para a métrica euclidiana. Finalmente demonstramos a Conjectura C para N > 2 no caso em que g é a métrica euclidiana e sob a hipótese que o tensor m anule ( Esta demonstração segue essencialmente [S-U]) .

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Ramón Mendoza

Data da defesa: 12/09

Banca Examinadora: Ramón Mendoza, Fernando Cardoso e Geraldo Oliveira (DMAT-UFPE), Eduardo Perdigão (UFAL), Aldo Maciel (UFBA)

1994

7) Jacqueline Fabiola Rojas Arancibia

Título: Uma Dessingularização da Hipersuperfície de sêxtuplas Cônicas em Hilb6P2

Resumo: O objetivo desta tese é a construção de uma dessingularização explícita de X. A técnica utilizada baseia-se no estudo dos ideais de certos mapas de fibrados vetoriais que comparecem naturalmente. De fato, a dessingularização será obtida a partir da variedade base (X={(f2 , g3 ) | f2 é uma cônica e g3 uma cúbica módulo f2} por intermédio de sucessivas explosões com centros de variedades definidas por ideais de Fitting. Uma das motivações deste trabalho é a possibilidade de adaptar o modelo para estudar a componente de Hilb6t-3P3 que oarametriza curvas em P3 de grau 6 e gênero 4, cujo ponto genérico é uma curva canônica. De fato, uma tal curva corresponde à interseção completa de uma superfície quádrica e uma cúbica. Comentário análogo se aplica à família de superfícies K3 de P4.

Área de Concentração: Álgebra

Linha de Pesquisa: Geometria Algébrica

Orientador: Israel Vainsencher

Data da defesa: 05/10

Banca Examinadora: Israel Vainsencher, Antonio Carlos, Roberto Bedregal (DMAT-UFPE), Daniel Levcovtiz (USP), Paulo H. Viana Barros (PUC/RJ)

1993

6) Eduardo Perdigão de Lemos

Título: Resolubilidade Local em Lp de Operadores Lineares de Primeira Ordem

Resumo: Neste trabalho iremos estudar a existência de soluções locais nos espaços Lp , com 1< p < , da equação Pu = f quando P é um Operador Diferencial Linear de 1ª Ordem , com coeficientes regulares de tipo principal, satisfazendo à condição ( P ) : a parte imaginária do símbolo principal de P não muda de sinal ao longo de qualquer bicaracterística nula da parte real do símbolo principal. A definição de resolubilidade local aqui adotada será a generalização do conceito para os espaços de Sobolev H2,s.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Jorge Hounie

Data da defesa: 10/02/1993

Banca Examinadora: Jorge Hounie , Francisco Brito e Hildeberto Cabral (DMAT-UFPE) , Pedro Malagutti e Adalberto Bergamasco (UFSCar)

5) Maria Eulália de Morais

Título: Resolubilidade Local de um Campo Complexo no Plano com Coeficientes Lipschitz

Resumo: Neste trabalho iremos estabelecer que para n = 1 e com a condição (P) satisfeita ( no lugar de Im 0 ) basta exigir que os coeficientes da parte principal sejam Lipschitz para obter L2- resolubilidade . No § 1, mostraremos que a condição ( P ) implica que uma vizinhança retangular da origem se decompõe em faixas onde o sinal de Im não muda. No § 2 , estabeleceremos fórmulas para estudar a ação do operador sobre as funções características das faixas. Este cálculo permite estabelecer , no § 3 , propriedades de comutação para L = t – x , parte principal do operador . Nos § 4 e 5, são obtidas estimativas L2 para funções C0 suportadas nas faixas . No § 6 , é feita a colagem das estimativas dos § 4 e 5 , para obter a estimativa L2 ( vide 6.3) . Dessa estimativa L2 resulta ( pelo argumento de dualidade mencionado nesta tese) o Teorema 2 . No § 7 estuda-se o enfraquecimento da hipótese sobre o coeficientes.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Jorge Hounie

Data da defesa: 11/02/1993

Banca Examinadora: Jorge Hounie, Mauriso Silva e Fernando Cardoso( DMAT-UFPE) , Pedro Malagutti e Adalberto Bergamasco( UFSCar)

4) Paulo Roberto Santiago

Título: Resolubilidade Local de Equações Diferenciais Parciais Semilineares

Resumo: Neste trabalho mostramos que a condição ( P ), sobre P(x,D), de Nirenberg-Treves é suficiente para a resolubilidade local de operadores semi-lineares, agindo em funções a valores (vide 1.1). Um dos resultados importantes do trabalho é o Teorema 4.2. A partir dele, usando as estimativas para composição em Espaços de Sobolev, apresentadas no Capítulo 5, obtemos o resultado central do trabalho que é o Teorema 6.1, cuja demonstração é apresentada no Capítulo 6.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Jorge Hounie

Data da defesa: 25/11/1993

Banca Examinadora: Jorge Hounie, Ramón Mendoza e Elves Alves (DMAT-UFPE) , Paulo Cordaro (IME-USP), Adalberto Bergamasco (UFSCar)

1989

3) Joaquim Tavares de Melo Neto

Título: Duas Extensões para o Teorema de Hartogs

Resumo: O objetivo desta tese, é de estabelecer para subfibrados de C T , onde é um subconjunto aberto de Rn; propriedades suficientes para a obtenção de um teorema análogo ao Teorema de Hartogs da teoria das funções de várias variáveis complexas. Este trabalho está dividido em três partes. Na primeira parte, estão as definições de estruturas globalmente integráveis e objetos a elas associados . Também provamos que se L tem a propriedade de resolubilidade ccom suporte compacto (cap. I) então temos para L, o Teorema de Hartogs. No Capítulo II , mostraremos como a Forma de Levi classifica as Estruturas de Lewy com respeito aa resolubilidade com suporte compacto. Finalmente, na última parte, estudamos estruturas globalmente integráveis e analíticas. Para estas, o fato de que as fibras da estrutura são não compactas, implica na resolubilidade com suporte compacto. Tal fato é relevante somente quando a estrutura tem codimensão um.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Jorge Hounie

Data da defesa: 15/02/1989

Banca Examinadora: Jorge Hounie, Severino Toscano, Fernando Cardoso e José Ruidival (DMAT-UFPE) , Paulo Cordaro (USP)

2) Pedro Luiz Aparecido Malagutti

Título: Integralidade Local de Estruturas de Mizohata

Resumo: Este trabalho está organizado seguinte forma : No Capítulo I, introduzimos as definições básicas da teoria, os teoremas conhecidos sobre integralidade local e as mudanças de variáveis que colocam o sistema (3) na forma(4) . No Capítulo II, desenvolvemos o material necessário para a aplicação do método de Nash-Moser, a saber : fórmulas de homotopia para o complexo associado a a , definições das normas de Holder a serem empregadas, desigualdades que mostram a continuidade dos operadores de homotopia nos espaços de Holder construídos e operadores de regularização . O uso de operadores de regularização é necessário porque os operadores de homotopia que construímos não ganham uma derivada como deveria esperar-se , já que a estrutura a é elítica . No último Capítulo, aplicamos propriamente o método, ou seja, utilizamos o processo de Nash-Moser para provar primeiramente a integrabilidade semi-global da estrutura L , então usamos esta solução semi-global para construir uma solução local para a estrutura de Mizohara M e finalmente provamos a integrabilidade global da estrutura perturbada L . Esta maneira de abordar o problema foi desenvolvida primeiramente por Kuranishi[13] para estruturas CR. Posteriormente, Wbster ([23] e [24]) modificou o método utilizando diretamente estimativas sobre os operadores de homotopia associados à estrutura em questão, mostrando deste modo, que a principal dificuldade desta abordagem, consiste em encontrar uma fórmula de homotopia para a estrutura em estudo; como não é conhecida uma maneira geral de obter tais fórmulas, devemos estudar cada caso separadamente.

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Jorge Hounie

Data da defesa: 21/08/1989

Banca Examinadora: Jorge Hounie , Fernando Cardoso e José Ruidival (DMAT-UFPE) , Orlando Lopes (UFPE)

1986

1) Ramón Orestes Mendoza Ahumada

Título: a) Unicidade do Problema de Cauchy para Equações Diferenciais Parciais de Primeira Ordem; b) A Distribuição Espectral de um Operador Globalmente Elítico

Resumo: O objetivo deste trabalho é estender alguns resultados sobre a distribuição espectral do oscilador harmônico a operadores pseudo-diferencaiis positivos, globalmente elíticos e autoadjuntos Q , de ordem 2, em Rn . Usamos para isto a aproximação do grupo unitário exp(-itQ) por operador integral de Fourier global para mostrar que se o fluxo hamiltoniano do símbolo principal q de Q é completamente periódico, com período positivo mínimo T e a média do símbolo subprincipal de q, sub Q, sobre as curvas integrais de Hq é igual a uma constante, então o símbolo principal do operador pseudo-diferencial exp(-itQ) é dado por (e- iTQ ) = i- e-i T onde é o índice de Maslov do “levanamento” da bicaracterística de T + q (x, ) que passa através do ponto (0, – q (x, ); x, p x , – ) .

Área de Concentração: Análise

Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais

Orientador: Fernando Cardoso

Data da defesa: 27/11/1986

Banca Examinadora: Fernando Cardoso e Jorge Hounie (DMAT- UFPE) , Paulo Cordaro (USP), Djairo Mendes(UnB)